বীজগণিতের সূত্র সমূহ

বীজগণিতের সূত্র

বীজগণিতের সূত্র সমূহ গণিতের অসংখ্য বিষয়ের ভিত্তি তৈরি করে।

সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, বহুপদ , স্থানাঙ্ক জ্যামিতি , ক্যালকুলাস , ত্রিকোণমিতি , সম্ভাব্যতার মতো বিষয়গুলি, বোঝার জন্য এবং জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগণিত সূত্রের উপর ব্যাপকভাবে নির্ভর করে।

বীজগণিত সূত্রগুলি কম সময়ে এবং কম ধাপে জটিল গণনা করতে সহায়ক। বীজগাণিতিক রাশির সূত্রগুলি বীজগাণিতিক রাশিগুলিকে সরল করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

এই সূত্রগুলো শেখার আগে চলুন, চলক, ধ্রুবক, পদ এবং বীজগাণিতিক রাশি কী কী তা স্মরণ করি।

একটি পরিবর্তনশীল হল একটি পরিমাণ যার মান পরিবর্তিত হয় এবং সাধারণত একটি বর্ণমালা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি ধ্রুবক হল একটি পরিমাণ যার মান স্থির।

একটি শব্দ হয় একটি পরিবর্তনশীল বা একটি ধ্রুবক বা ভেরিয়েবল এবং ধ্রুবকের একটি সমন্বয় (উপাদান বা ভাগফল)।

গণিত বিষয়গুলির জটিলতার উপর ভিত্তি করে, বীজগণিত সূত্রগুলিও রূপান্তরিত হয়েছে। লগারিদম, সূচক, সূচক, অগ্রগতি, স্থানান্তর এবং সংমিশ্রণের মতো বিষয়গুলির নিজস্ব বীজগণিত সূত্র রয়েছে। এখানে, আমরা বিভিন্ন গণিত বিষয় জুড়ে ব্যবহৃত বীজগণিতের সূত্রের তালিকা দেখব।

বীজগণিত সূত্র

বীজগণিত সূত্রে, একটি পরিচয় হল একটি সমীকরণ যা ভেরিয়েবলের জন্য নির্ধারিত মান নির্বিশেষে সর্বদা সত্য। বীজগণিতীয় আইডেন্টিটির অর্থ হল সমীকরণের বাম দিকের দিকটি সমীকরণের ডানদিকের এবং ভেরিয়েবলের সমস্ত মানের জন্য অভিন্ন।

বীজগণিতীয় পরিচয়গুলি অজানা ভেরিয়েবলের মানগুলি সমাধান করার জন্য অ্যাপ্লিকেশন খুঁজে পায়। এখানে কিছু সর্বাধিক ব্যবহৃত বীজগণিতীয় পরিচয় রয়েছেঃ

বীজগণিতীয় পরিচয়

  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
  • (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
  • (x + a)(x + b) = x 2 + x(a + b) + ab

আসুন আমরা বীজগণিতীয় পরিচয় দেখি: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , এবং বীজগণিত এবং জ্যামিতিতেও এই পরিচয়টি বোঝার চেষ্টা করি। এই সূত্রের প্রমাণ হিসাবে, আসুন বীজগণিতভাবে রাশিটিকে গুণ করার চেষ্টা করি এবং সূত্রটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। (a + b) 2 = (a + b) × (a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 । এই অভিব্যক্তিটি জ্যামিতিকভাবে নীচের প্রদত্ত বর্গ চিত্রের চারটি উপ-চিত্রের ক্ষেত্রফল হিসাবে বোঝা যেতে পারে। আরও, আমরা পরিচয়ের প্রমাণকে একীভূত করতে পারি (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ।

বীজগণিত সূত্র কি?

একটি বীজগণিতীয় সূত্র একটি সমীকরণ, একটি নিয়ম যা গাণিতিক এবং বীজগণিতিক চিহ্ন ব্যবহার করে লেখা হয়। এটি একটি সমীকরণ যা উভয় পক্ষের বীজগণিতিক রাশির সাথে জড়িত । বীজগণিত সূত্র হল জটিল বীজগণিত গণনা সমাধানের জন্য একটি সংক্ষিপ্ত দ্রুত সূত্র। এই বীজগণিতীয় সূত্রগুলি প্রতিটি গণিত বিষয়ের জন্য উদ্ভূত হতে পারে, অজানা পরিবর্তনশীল x রয়েছে এবং কিছু সাধারণ বীজগণিত সূত্র গণিতের প্রতিটি বিষয়ে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

উদাহরণ:

(a+b) 2 =a 2 +2ab + b 2 একটি বীজগণিতীয় সূত্র এবং এখানে,

  • (a+b) 2 একটি বীজগণিতীয় রাশি
  • একটি 2 +2ab+b 2 একটি বীজগণিতীয় রাশির একটি সরলীকৃত রূপ

বীজগণিতের ভূমিকা

গণিত একটি বিশাল ক্ষেত্র। সারাজীবন অধ্যয়ন করার পরেও একজন ব্যক্তির পক্ষে গণিতে যা জানার মতো সবকিছু জানা সম্ভব নয়। এবং যদিও এটি কষ্টকর হতে পারে, গণিতও অধ্যয়নের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র। মহাবিশ্বের শুরু কখন থেকে ওয়েটারকে কতটা টিপ দিতে হবে, সমস্ত উত্তর গণিত প্রয়োগের কারণে পাওয়া যাবে।

আমরা উচ্চতর ক্লাসের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে আমরা বীজগণিতের সাথে আমাদের পরিচয় দেখতে পাই। বীজগণিতে, আমরা সমাধানে পৌঁছানোর জন্য অক্ষর বা বর্ণমালা দিয়ে সংখ্যা প্রতিস্থাপন করি। আমরা এই অক্ষরগুলি ব্যবহার করি যেমন (x, a, b ইত্যাদি) একটি সমীকরণে অজানা পরিমাণগুলিকে উপস্থাপন করতে। তারপরে আমরা একটি নির্দিষ্ট উত্তরে পৌঁছানোর জন্য সমীকরণ বা বীজগণিত সূত্র সমাধান করি।

বীজগণিত নিজেই দুটি প্রধান ক্ষেত্রে বিভক্ত। আমরা স্কুলে যে আরও মৌলিক ফাংশন শিখি তা প্রাথমিক বীজগণিত হিসাবে পরিচিত। তারপর আরও উন্নত বীজগণিত সূত্র, যা প্রকৃতিতে আরও বিমূর্ত আধুনিক বীজগণিতের অধীনে পড়ে, কখনও কখনও বিমূর্ত বীজগণিত নামেও পরিচিত।

ক্লাস 8 এর জন্য বীজগণিতের সূত্র সমূহ

তিনটি ভেরিয়েবল a, b, এবং c এবং সর্বাধিক 3-এর জন্য বীজগণিত সূত্রগুলি বীজগণিতীয় রাশির সূচকের মানের উপর ভিত্তি করে নিজের দ্বারা রাশিটিকে গুণ করে সহজেই বের করা যেতে পারে । নিচের সূত্রগুলো ক্লাস 8 এর জন্য।

  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
  • (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
  • (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
  • (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
  • 3 + b 3 = (a + b)(a 2  – ab + b 2 )
  • 3  – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )
  • (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

একই ঘাঁটির বিভিন্ন ক্ষমতাসম্পন্ন সূচকের কিছু সাধারণ নিয়ম এবং একই শক্তির বিভিন্ন ঘাঁটি, জটিল সূচকীয় পদগুলি সমাধানের জন্য উপযোগী। উচ্চতর সূচকীয় মানগুলি সূচকীয় পদগুলির কোনও প্রসারণ ছাড়াই সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। কিছু লগারিদমিক আইন বের করতে এই সূচকীয় আইনগুলি আরও কার্যকর।

  • একটি মিটার । a n = a m + n
  • m /a n = a m – n
  • (a m ) n = an
  • (ab) m = a m । খ মি
  • 0 = 1
  • -m = 1/a m

ক্লাস 9 এর জন্য বীজগণিতের সূত্র সমূহ

লগারিদমগুলি অত্যন্ত জটিল গুণ এবং ভাগের গণনার জন্য উপযোগী। 2 5 = 32- এর স্বাভাবিক সূচকীয় রূপটি লগারিদমিক আকারে রূপান্তরিত হতে পারে লগ 32 থেকে 2 = 5 এর বেস থেকে। আরও, দুটি গাণিতিক রাশির মধ্যে গুণ এবং ভাগ সহজেই যোগ এবং বিয়োগে রূপান্তরিত হতে পারে , তাদের রূপান্তর করার পরে লগারিদমিক ফর্ম। লগারিদম সূত্রগুলির নীচের বৈশিষ্ট্যগুলি, যা লগারিদমিক গণনায় প্রযোজ্য।

বীজগণিতের সূত্র সমূহ
বীজগণিতের সূত্র সমূহ

দশম শ্রেণীর জন্য বীজগণিতের সূত্র সমূহ

দশম শ্রেণিতে প্রবর্তিত একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগণিত সূত্র হল ” চতুর্মুখী সূত্র “। দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ হল ax 2 + bx + c = 0, এবং এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধানের দুটি পদ্ধতি রয়েছে। প্রথম পদ্ধতিটি হল বীজগণিত পদ্ধতি দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা এবং দ্বিতীয় পদ্ধতিটি হল দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা। নিচের সূত্রটি দ্রুততম সংখ্যক ধাপ সহ চলক x এর মান খুঁজে পেতে সহায়ক।

উপরের অভিব্যক্তিতে, b 2 – 4ac মানটিকে নির্ধারক বলা হয় এবং প্রদত্ত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি খুঁজে পেতে এটি কার্যকর । নির্ধারকের মানের উপর ভিত্তি করে, নীচে তিন ধরনের শিকড় দেওয়া হল।

  • যদি b 2 – 4ac > 0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি স্বতন্ত্র বাস্তব মূল আছে ।
  • যদি b 2 – 4ac = 0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি সমান বাস্তব মূল আছে ।
  • যদি b 2 – 4ac <0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি কাল্পনিক মূল আছে ।

এটি ছাড়াও, আমাদের কাছে অগ্রগতি সম্পর্কিত আরও কয়েকটি সূত্র রয়েছে । অগ্রগতির মধ্যে কিছু মৌলিক ক্রম অন্তর্ভুক্ত থাকে যেমন পাটিগণিত ক্রম এবং জ্যামিতিক ক্রম। ধারাবাহিকের ধারাবাহিক পদগুলির সাথে একটি ধ্রুবক মান যোগ করে পাটিগণিতের ক্রম পাওয়া যায়। পাটিগণিত অনুক্রমের পদ হল a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …. a + (n – 1)d। জ্যামিতিক ক্রমটি সিরিজের ধারাবাহিক পদগুলির সাথে একটি ধ্রুবক মানকে গুণ করে প্রাপ্ত করা হয়। জ্যামিতিক অনুক্রমের পদগুলি হল a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 , …..ar n-1 । নীচের সূত্রগুলি nম পদ এবং পাটিগণিতের পদগুলির যোগফল এবং জ্যামিতিক ক্রম খুঁজে পেতে সহায়ক।


ক্লাস 11 এর জন্য বীজগণিতের সূত্র সমূহ

ক্লাস 11-এর গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলি যেখানে বীজগণিতের সূত্র সমূহ ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে তা হল পারমুটেশন এবং কম্বিনেশন । পারমুটেশনগুলি n উপলব্ধ জিনিসগুলি থেকে r জিনিসগুলির বিভিন্ন বিন্যাস খুঁজে পেতে সহায়তা করে এবং সংমিশ্রণগুলি উপলব্ধ n জিনিসগুলি থেকে r জিনিসগুলির বিভিন্ন গ্রুপ খুঁজে পেতে সহায়তা করে। নিম্নোক্ত সূত্রগুলো পারমুটেশন এবং কম্বিনেশন মান খুঁজে পেতে সাহায্য করে।

স্থানান্তর এবং সংমিশ্রণ ছাড়াও, ” দ্বিপদ উপপাদ্য ” এর আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় রয়েছে যা দুটি পদ সহ বীজগণিতীয় রাশির বৃহৎ সূচকের মূল্যায়ন করতে ব্যবহৃত হয়। এখানে কোফিসিয়েন্টস দ্বিপদ পদ সমাহারের সূত্র থেকে গণনা করা হয়। নীচের অভিব্যক্তিটি দ্বিপদ সম্প্রসারণের সম্পূর্ণ সূত্র প্রদান করে এবং এটিকে দ্বিপদী উপপাদ্যের বীজগণিতীয় অভিব্যক্তি বলা যেতে পারে।

ক্লাস 12 এর জন্য বীজগণিতের সূত্র সমূহ

12 শ্রেনীর ভেক্টর বীজগণিতের সূত্র সমূহ নিম্নরূপ।

যেকোনো তিনটি ভেক্টরের জন্য, →কক→, →খখ→ এবং →গগ→:

  • এর মাত্রা →ক=এক্স^i+y^j+z^kক→=এক্সi^+yj^+zk^ হয়, |→ক|=√এক্স2+y2+z2|ক→|=এক্স2+y2+z2.
  • একক ভেক্টর বরাবর →কক→ হয় →ক|→ক|ক→|ক→|.
  • ডট পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: →ক⋅→খ=|→ক||→খ|কারণθক→⋅খ→=|ক→||খ→|কারণ⁡θ, কোথায় θθ ভেক্টরের মধ্যে কোণ →কক→ এবং →খখ→.
  • ক্রস পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: →ক×→খ=|→ক||→খ|পাপθ^nক→×খ→=|ক→||খ→|পাপ⁡θn^, কোথায় θθ ভেক্টরের মধ্যে কোণ →কক→ এবং →খখ→.
  • তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল গুণফল দেওয়া হয়েছে [→ক →খ →গ]=→ক⋅(→খ×→গ)=(→ক×→খ)⋅→গ[ক→ খ→ গ→]=ক→⋅(খ→×গ→)=(ক→×খ→)⋅গ→.

বীজগণিতের সূত্র সমূহ – ফাংশন

একটি বীজগাণিতিক ফাংশন y=f(x) আকারের। এখানে, x হল ইনপুট এবং y হল এই ফাংশনের আউটপুট। এখানে, প্রতিটি ইনপুট ঠিক একটি আউটপুটের সাথে মিলে যায়। কিন্তু একাধিক ইনপুট একক আউটপুটের সাথে মিলে যেতে পারে। যেমন: f(x)= x 2 একটি বীজগণিতীয় ফাংশন। এখানে, যখন x=2, f(2)= 2 2 =4। এখানে, x=2 হল ইনপুট, এবং f(2)=4 হল ফাংশনের আউটপুট।

 বীজগণিতের সূত্র
বীজগণিতের সূত্র

বীজগণিতের সূত্র সমূহ – ভগ্নাংশ

আমরা অসংখ্য গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ যেমন যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং বীজগণিতের ভগ্নাংশের বিভাজন করতে পারি ঠিক একইভাবে আমরা সংখ্যা জড়িত ভগ্নাংশের সাথে করি। আরও, এটিতে শুধুমাত্র অজানা ভেরিয়েবল রয়েছে এবং ভগ্নাংশ জুড়ে কাজ করার একই নিয়ম জড়িত। বীজগণিত ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার জন্য নীচের চারটি অভিব্যক্তি কার্যকর। ভগ্নাংশ যোগ করা: x/y + z/w = (xw + yz)/(yw)

  1. বিয়োগ করা ভগ্নাংশ: x/y – z/w = (xw – yz)/(yw)
  2. ভগ্নাংশ গুণ করা : x/y × z/w = xz/yw
  3. ভগ্নাংশ ভাগ করা: x/y ÷ z/w = x/y × w/z = xw/yz

বীজগণিতের সূত্র সমূহ টিপস এবং কৌশল:

নিম্নলিখিত দ্রুত টিপস এবং কৌশলগুলি সহজে মনে রাখার বীজগাণিতিক পরিচয় বোঝার জন্য দরকারী হবে।

  1. আপনি বীজগণিতীয় পরিচয়গুলি কীভাবে উদ্ভূত হয়েছে তা বোঝার মাধ্যমে মুখস্থ করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, (a+b) 2 =(a+b)(a+b)= a 2 +ab+ab+b 2 = a 2 +2ab+b 2।
  2. একইভাবে, আপনি অন্যান্য বীজগণিতীয় পরিচয়গুলিও বের করার চেষ্টা করতে পারেন।

চ্যালেঞ্জিং প্রশ্ন

এখন বীজগাণিতিক রাশির ধারণাগুলি বোঝার পরে, শেখা ধারণাটি আরও ভালভাবে অনুশীলন করতে নীচের তিনটি প্রশ্ন দেখুন।

  1. দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন: x 2 +7x+12=0
  2. রাশিটি সরলীকরণ করুন: (x -9 y 3 )/(x -7 y 8 ) যাতে উত্তরটির কোনো নেতিবাচক সূচক না থাকে।
  3. লগারিদম প্রসারিত করুন: log x 2 y 3 z।

☛ বীজগণিত সূত্র সম্পর্কিত প্রবন্ধ

পর্যায় সারণি কাকে বলে

বীজগণিতের সূত্র সমূহ সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত বিষয়গুলির তালিকা নীচে দেওয়া হল। এই বিষয়গুলি আপনাকে কুমেথ-এ এই ধরনের ধারণাগুলি কীভাবে কভার করা হয়েছে তার একটি আভাস দেবে।

Leave a Comment